勾股定理现约有500种证实方式，是数学定理中证实方式较多的定理之一。勾股定理是人类发明并证实的主要数学定理之一，用代数思惟处理多少题目的较主要的东西之一，也是的纽带之一。在中国，商代期间的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的惯例。在东方，较早提出并证实此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用归纳法证实了直角三角形斜边平方即是两直角边平方之和在的《是多少原先》一本书总结出勾股定理的下例查证。设△ABC为继而角四角形，此中A为平角。从A点齐截向线至对边，使其纵向于对边。延误此线把对旁边的圆形体形一点为二，其总面积离别与各种两大圆形体形互称。

在这个定理的证实中，咱们须要以下四个帮助定理：

若是两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相称，则两三角形全等。（SAS）

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

肆意一个正方形的面积即是其二边长的乘积。

肆意一个矩形的面积即是其二边长的乘积（据帮助定理3）。

证实的思绪为：从A点齐截向线至对边，使其垂直于对边。耽误此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，经由过程等高同底的三角形，以其面积干系，转换成下方两个划一面积的长方形。

设△ABC为一向角三角形，其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线，别离垂直BC和DE于K、L。

别离毗连CF、AD，构成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，是以C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角，以是∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB，BD=BC，以是△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在统一向线上，以是四边形BDLK=2△ABD。

因为C、A和G在统一向线上，以是正方形BAGF=2△FBC。

是以四边形BDLK=BAGF=AB2。

同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC2。

把这两个成果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

因为BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

因为CBDE是个正方形，是以AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。

此证实是于欧几里得《多少本来》一书第1.47节所提出的。

因为这个定理的证实依靠于平行正义，并且从这个定理能够推出平行正义，良多人质疑平行正义是这个定理的须要前提，一向到十九世纪测验考试否认第五正义的呈现。

肆意一组勾股数能够表现为以下情势：，，，此中均为正整数，且。

定理用场

已知直角三角形双方求解第三边，或已知三角形的三边长度，证实该三角形为直角三角形或用来证实该三角形内双方垂直。操纵勾股定理求线段长度这是勾股定理的较根基利用。[4]对《》内的勾股定理作出了具体正文，记实于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数连系获得方式，给出了勾股定理的具体证实。后刘徽在刘徽注中亦证实了勾股定理。[2]提出了二十多种对勾股定理证法。[5]。美国藏书楼内保藏着一块编号为“普林顿322”的泥板，下面就记录了良多勾股数。古埃及人在修建雄伟的金字塔和丈量尼罗河众多后的地盘时，也利用过勾股定理。[6-7]证实了勾股定理，因此东方人都习气地称这个定理为毕达哥拉斯定理。[8]数学家在《多少本来》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个证实。[9]在《新英格兰教导日记》上颁发了他对勾股定理的一个证法。

1940年《毕达哥拉斯命题》出书，搜集了367种差别的证法。